Question

已知x+2y=6，则

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值是（　　）

• A．1+3

  2

• B．

  10

  +3
• C．

  2

  +

  13

• D．5

Answer 1

分析：将已知x+2y=6构造成一条线段的长度，将

1

2

x2+4

+

y2+9

构造成由勾股定理计算的两线段的长度，最后数形结合即可求得其最小值

解答：解：如图：设AC=

x

2

，BC=y
则AB=AC+CB=

x

2

+y=

6

2

=3
AD⊥AB，BE⊥AB，且AD=1，BE=3
则

1

2

x2+4

=

( x 2 )2+12

，其几何意义为线段DC的长

y2+9

=

y2+32

，其几何意义为线段EC的长
∴

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值即DC+CE的最小值
∵DC+CE≥DE=

32+42

=5
∴

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值是5
故选D

点评：本题主要考查了函数最值的求法，利用构造法，赋予已知和结论以几何意义，然后数形结合解决问题是解决本题的关键，属中档题