Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）．
（1）设x₁是f（x）的一个极大值点，x₂上g（x）的一个极小值点，求|x₁-x₂|的最小值；
（2）若f′（α）=g′（α），求g(α+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据x₁是f（x）的一个极大值点，x₂上g（x）的一个极小值点，推出x₁、x₂的关系，得到|x₁-x₂|的表达式，然后求出最小值；
（2）求出函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）的导函数，利用f′（α）=g′（α），求出2α+φ的值，再求g(α+

π

6

)的表达式，代入2α+φ值，即可解得所求表达式的值．

解答：解：（1）由题意，得2x₁+φ=2k₁π+

π

2

，2x₂+φ=2k₂π+π，k₁∈Z，k₂∈Z（2分）
于是|x₁-x₂|=|（k₁-k₂）π-

π

4

|≥

π

4

，当k₁=k₂时等号成立．（4分）
所以|x₁-x₂|的最小值为

π

4

．（6分）
（2）因为f′（x）=2cos（2x+φ），g′（x）=-2sin（2x+φ），（8分）
由f′（α）=g′（α），得cos（2α+φ）=-sin（2α+φ），即tan（2α+φ）=-1，
所以2α+φ=kπ-

π

4

，（k∈Z），（10分）
所以g(α+

π

6

)=cos(2α+φ+

π

3

)=cos(2α+φ)cos

π

3

-sin(2α+φ)sin

π

3

=-(cos

π

3

+sin

π

3

)sin(2α+φ)=-

1+ 3

2

sin(kπ-

π

4

)（12分）
当k为偶数时，g(α+

π

6

)=

2 + 6

4

；当k为奇数时，g(α+

π

6

)=-

2 + 6

4

．（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质，导数的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力，分类讨论思想．