Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$是空间中不共面的三个向量，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$+3$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{d}$=$α\overrightarrow{a}$+$β\overrightarrow{b}$+$γ\overrightarrow{c}$，则α+β+γ等于1．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$表示出$\overrightarrow{d}$，根据空间向量的基本定理列出方程组得出α，β，γ的值．

解答 解：$\overrightarrow{d}$=$α\overrightarrow{a}$+$β\overrightarrow{b}$+$γ\overrightarrow{c}$=α（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$）+β（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{3}}$）+γ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$+3$\overrightarrow{{e}_{3}}$）=（α+β+γ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（α+β+2γ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$+（α-β+3γ）$\overrightarrow{{e}_{3}}$．
又∵$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$+3$\overrightarrow{{e}_{3}}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{α+β+γ=1}\\{α+β+2γ=2}\\{α-β+3γ=3}\end{array}\right.$，解得α=0，β=0，γ=1．∴α+β+γ=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了空间向量的基本定理，根据基本定理列出方程组是关键．