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某单位的联欢活动中有一种摸球游戏,已知甲口袋中大小相同的3个球,其中2个红球,1个黑球;乙口袋中有大小相同的2个球,其中1个红球,1个白球.每次从一只口袋中摸一个球,确定颜色后再放回.摸球的规则是:先从甲口袋中摸一个球,如果摸到的不是红球,继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每个口袋里摸球时,如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球,则该游戏者的游戏停止.游戏规定,如果游戏者摸到2个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响.
(Ⅰ)一个游戏者只摸2次就中奖的概率;
(Ⅱ)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为ξ,求ξ 的数学期望.
分析:从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红球的概率为
2
3
,从乙口袋里摸一个球,摸到的球是红球的概率为
1
2

(I)一个游戏者只摸2次就中奖,说明他第一次从甲口袋中摸到的球是红球,第二次从乙口袋中摸到的球也是红球,利用相互独立事件的概率计算公式即可得出..
(II)ξ可取2,3,4.用A表示“从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红球”,
.
A
表示“从甲口袋中摸一个球,摸到的球不是红球”,则P(A)=
2
3
P(
.
A
)=
1
3
.用B表示“从乙口袋中摸一个球,摸到的球是红球”,
.
B
表示“从乙口袋中摸一个球,摸到的球不是红球”,则P(B)=P(
.
B
)
=
1
2

P(ξ=2)=P(AB)+P(
.
A
.
A
)
;P(ξ=3)=P(A
.
B
B)
+P(A
.
B
.
B
)
+P(
.
A
AB)
;P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3).得出分布列,再由公式求期望即可
解答:解:从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红球的概率为
2
3
,从乙口袋里摸一个球,摸到的球是红球的概率为
1
2

(I)一个游戏者只摸2次就中奖,说明他第一次从甲口袋中摸到的球是红球,第二次从乙口袋中摸到的球也是红球,
故所求的概率P=
2
3
×
1
2
=
1
3

(II)ξ可取2,3,4.
用A表示“从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红球”,
.
A
表示“从甲口袋中摸一个球,摸到的球不是红球”,则P(A)=
2
3
P(
.
A
)=
1
3

用B表示“从乙口袋中摸一个球,摸到的球是红球”,
.
B
表示“从乙口袋中摸一个球,摸到的球不是红球”,则P(B)=P(
.
B
)
=
1
2

P(ξ=2)=P(AB)+P(
.
A
.
A
)
=
2
3
×
1
2
+
1
3
×
1
3
=
4
9

P(ξ=3)=P(A
.
B
B)
+P(A
.
B
.
B
)
+P(
.
A
AB)
=
2
3
×
1
2
×
1
2
+
2
3
×
1
2
×
1
2
+
1
3
×
2
3
×
1
2
=
4
9

P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=
1
9

可得ξ的分布列为
 ξ  2  3  4
 P(ξ)  
4
9
 
4
9
 
1
9
Eξ=
4
9
+3×
4
9
+4×
1
9
=
8
3
点评:本题考查了相互独立事件的概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算、分类讨论、随机变量的分布列及其数学期望,属于难题.
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