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在直角梯形ABCD中,ABCDADABCD2AB4ADECD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中垂足O在线段DE内.

(1)求证:CO平面ABED

(2)CEO(记为θ)多大时,三棱锥CAOE的体积最大,最大值为多少.

 

1)见解析(2

【解析】(1)在直角梯形ABCD中,

CD2ABECD的中点,则ABDE

ABDEADAB,可知BECD.

在四棱锥CABED中,BEDEBECECEDEECEDE?平面CDE

BE平面CDE.BE?平面ABED

所以平面ABED平面CDE

因为CO?平面CDE

CODE,且DE是平面ABED和平面CDE的相交直线,

CO平面ABED.

(2)(1)CO平面ABED

所以三棱锥CAOE的体积VSAOE×OC××OE×AD×OC.

由直角梯形ABCD中,CD2AB4ADCE2.

得在三棱锥CAOE中,

OECEcos θ2cos θOCCEsin θ2sin θ

Vsin 2θ

当且仅当sin 2θ1θθ时取等号(此时OEDEO落在线段DE)

故当θ三棱锥CAOE的体积最大最大值为.

 

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