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已知不等式|x+3|>2|x|①
x+2x2-3x+2
≥1
,②2x2+mx-1<0③.
(1)若同时满足①②的x的值也满足不等式③,求实数m的取值范围.
(2)若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.
分析:先解出①②的解集,再研究两个集合的关系.
(1)“若同时满足①②的x的值也满足不等式③,”即为“2x2+mx-1<0在A∩B上成立”,然后由方程2x2+mx-1=0的一根小于0,大于等于3求解.
(2)“若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个”即:“2x2+mx-1<0在A∪B上成立”,然后由方程2x2+mx-1=0的两根应在区间[-1,4]上求解.
解答:解:①的解集为A={x|-1<x<3},
②的解集为B={x|0≤x<1或2<x≤4}
A∩B={x|0≤x<1或2<x<3},A∪B={x|-1<x≤4}(4分)
(1)根据题意,则方程2x2+mx-1=0的一根小于0,大于等于3.(5分)
设f(x)=2x2+mx-1,则
f(0)<0
f(3)≤0
?m≤-
17
3
(7分)
(2)根据题意,则方程2x2+mx-1=0的两根应在区间[-1,4]上.(8分)
设f(x)=2x2+mx-1,则
f(-1)≥0
f(4)≥0
△>0
-1<-
m
4
<4
?-
31
4
≤m≤1
(12分)
点评:本题主要考查集合的运算及不等式成立的基本解法.
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