Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₁：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C₁表示一个圆；曲线C₂表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C₁的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C₂的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

解答：解：（1）把曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数）化为普通方程得：（x+4）²+（y-3）²=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；
把C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）化为普通方程得：

x2

64

+

y2

9

=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=

π

2

代入到曲线C₁的参数方程得：P（-4，4），
把直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ）
所以M到直线的距离d=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(α-θ)-13|

5

，（其中sinα=

4

5

，cosα=

3

5

）
从而当cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，d取得最小值

8 5

5

．

点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．