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4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB=1,AC=$\sqrt{3}$,AD=2,M、N分别为棱PA、BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)若二面角P-CD-B等于30°,求四棱锥P-ABCD的体积.

分析 (1)取PD中点E,连结NE,CE,可证MNEC为平行四边形,由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD;
(2)证明AC⊥CD,确定∠PCA是二面角P-CD-B的平面角,求出PA,即可求四棱锥P-ABCD的体积.

解答 (1)证明:取PD中点E,连结NE,CE.
∵N为PA中点,∴NE∥AD,NE=$\frac{1}{2}$AD,
又M为BC中点,底面ABCD为平行四边形,∴MC∥AD,MC=$\frac{1}{2}$AD.
∴NE∥MC,NE=MC,即MNEC为平行四边形,
∴MN∥CE.
∵EC?平面PCD,且MN?平面PCD,∴MN∥平面PCD.
(2)解:∵AB=1,AC=$\sqrt{3}$,AD=2,
∴AB2+AC2=AD2,∴AC⊥CD,
∵PA⊥平面ABCD,
∴PC⊥CD,
∴∠PCA是二面角P-CD-B的平面角,即∠PCA=30°,
∴PA=$\sqrt{3}$tan30°=1,
∴四棱锥P-ABCD的体积=$\frac{1}{3}$×$2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题主要考查了线与平面平行的判定,考查二面角P-CD-B的平面角、四棱锥P-ABCD的体积,关键在于熟练掌握直线与平面平行的判定定理及其应用,考查了空间想象能力和转化思想,属于中档题.

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