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11.求函数f(x)=$\frac{1}{2}$x+sinx在区间[0,2π]上的最值.

分析 清楚函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,求出极值以及端点的函数值,然后求解最值.

解答 解:${f^'}(x)=\frac{1}{2}+cosx-----3$分
因为x∈[0,2π],所以令f′(x)>0得$x∈({0,\frac{2π}{3}})∪({\frac{4π}{3},2π})$,
所函数$f(x)=\frac{1}{2}x+sinx$的增区间为$({0,\frac{2π}{3}}),({\frac{4π}{3},2π})$------------(6分)
令f′(x)<0得$x∈({\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}})$,
所函数$f(x)=\frac{1}{2}x+sinx$的减区间为$({\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}})$---------------(9分)
由f(0)=0,$f(\frac{2π}{3})=\frac{π}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,$f(\frac{4π}{3})=\frac{2π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,f(2π)=π得:
当x=2π时,函数f(x)取得最大值为π;
当x=0时,函数f(x)取得最小值为0.----------------------(14分)

点评 本题考查函数的最值的求法,导数的综合应用,考查计算能力.

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