Question

11．求函数f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx在区间[0，2π]上的最值．

Answer 1

分析 清楚函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，然后求解最值．

解答 解：${f^'}（x）=\frac{1}{2}+cosx-----3$分
因为x∈[0，2π]，所以令f′（x）＞0得$x∈（{0，\frac{2π}{3}}）∪（{\frac{4π}{3}，2π}）$，
所函数$f（x）=\frac{1}{2}x+sinx$的增区间为$（{0，\frac{2π}{3}}），（{\frac{4π}{3}，2π}）$------------（6分）
令f′（x）＜0得$x∈（{\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}}）$，
所函数$f（x）=\frac{1}{2}x+sinx$的减区间为$（{\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}}）$---------------（9分）
由f（0）=0，$f（\frac{2π}{3}）=\frac{π}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$f（\frac{4π}{3}）=\frac{2π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，f（2π）=π得：
当x=2π时，函数f（x）取得最大值为π；
当x=0时，函数f（x）取得最小值为0．----------------------（14分）

点评 本题考查函数的最值的求法，导数的综合应用，考查计算能力．