Question

（2013•天津模拟）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是

3

5

，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；
（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分）
P(X=0)=

C33

C63

=

1

20

，P(X=10)=

C32C31

C63

=

9

20

，
P(X=20)=

C31C32

C63

=

9

20

P(X=30)=

C33

C63

=

1

20

…（5分）
乙得分的分布列为：

X	0	10	20	30
P	1 20	9 20	9 20	1 20

…（6分）
EX=0×

1

20

+10×

9

20

+20×

9

20

+30×

1

20

=15
所以乙得分的数学期望为15…（8分）
（Ⅱ）乙通过测试的概率为

1

20

+

9

20

=

1

2

…（9分）
甲通过测试的概率为(

3

5

)3+C32(

3

5

)2

2

5

=

81

125

…（11分）
甲、乙都没通过测试的概率为(1-

1

2

)•(1-

81

125

)=

22

125

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为1-

22

125

=

103

125

…（13分）

点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．