Question

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环内，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布条形图如下图所示，若将频率视为概率，回答下列问题．
（Ⅰ）求甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率；
（Ⅱ）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两运动员各射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由图形可知，一次射击中甲击中7，8环的概率均为0.1，击中9环的概率为0.45，利用对立事件得出击中10环的概率为1-0.45-0.1-0.1=0.35，从而得出甲击中9环以上（含9环）的概率即可；
（Ⅱ）设甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）为事件A，结合n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式即可求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率．
（III）根据题意，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数的取值是0、1、2，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率做出结果分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）由图形可知，一次射击中甲击中7，8环的概率均为0.1，击中9环的概率为0.45，
又因为他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环内，因此击中10环的概率为1-0.45-0.1-0.1=0.35，所以甲击中9环以上（含9环）的概率为0.45+0.35=0.8（或解P=1-0.2=0.8）…（3分）
（Ⅱ）设甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）为事件A
则P（A）=C₃¹0.8×0.2²+C₃²0.8²×0.2+C₃³0.8³=0.096+0.384+0.512=0.992（或解P（A）=1-0.2³=0.992）…（8分）
（Ⅲ）由题意可知ξ=0，1，2，由图可知乙一次射击击中9环以上（含9环）的概率为 0.75P（ξ=0）=0.20×0.25=0.05，P（ξ=1）=0.80×0.25+0.75×0.20=0.35P（ξ=2）=0.80×0.75=0.60…（11分）
因此ξ的分布列为：

ξ		1	2
P（ξ）	0.05	0.35	0.60

Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.60=1.55…（14分）
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．