Question

如图,正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1,E为A₁B₁的中点,则下列五个命题:

①点E到平面ABC₁D₁的距离为;

②直线BC与平面ABC₁D₁所成的角等于45°;

③空间四边形ABCD₁在正方体六个面内的射影围成的图形中,面积最小的值为;

④BE与CD₁所成角为arcsin;

⑤二面角ABD₁C的大小为.

其中真命题是.(写出所有真命题的序号)

Answer 1

答案：②③④  E到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离,即B₁到BC₁的距离为,

∴①不正确;BC与面ABC₁D₁所成的角,即∠CBC₁为45°,②正确;空间四边形ABCD₁在面BCC₁B₁或在面ADD₁A₁中的射影面积最小,为正方形BCC₁B₁面积的一半,③正确;BE与CD₁所成的角,即为BA₁与BE所成角,即为∠A₁BE,

A₁E=,BE=,BA₁=,cos∠A₁BE=,sin∠A₁BE=,

∴④正确;

面ABD₁的法向量为=(1,0,1),面BCD₁的法向量为=(0,1,1),而与的夹角为60°,∴二面角ABD₁C的大小为π-=.∴⑤不正确.