Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-2y+1=0的面积，则

ab

a+b

的最大值为

6-4

2

．

Answer 1

分析：根据题意，求出圆的圆心坐标，又由直线始终平分圆的面积，则直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程，变形可得2a+b=2，由基本不等式求出

1

a

+

1

b

的最小值，又由

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

，分析可得

ab

a+b

的最大值，即可得答案．

解答：解+根据题意，圆的一般方程为x²+y²+2x-2y+1=0，则其圆心坐标为（-1，1），
又由直线2ax-by+2=0始终平分圆x²+y²+2x-2y+1=0的面积，
则直线过圆心，所以有2a×（-1）-b×1+2=0，变形可得2a+b=2；
则有

1

a

+

1

b

=

1

2

×（2a+b）×（

1

a

+

1

b

）=

1

2

×（3+

2a

b

+

b

a

），
又由a＞0，b＞0，

2a

b

＞0，且

b

a

＞0，则有

2a

b

+

b

a

≥2

2a b × b a

=2

2

，
则

1

a

+

1

b

=

1

2

×（3+

2b

a

+

a

b

）≥

3+2 2

2

，
又由

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

，则

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

≤

1

3+2 2 2

=6-4

2

，
即

ab

a+b

的最大值为6-4

2

；
故答案为6-4

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，难点是利用

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

的关系，关键是分析得到直线2ax-by+2=0过圆的圆心．