精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
11.已知数列{an}对任意的自然数n满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1.
(Ⅰ)求a1及通项an
(Ⅱ)设数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为Sn,求Sn

分析 (Ⅰ)令n=1可知a1=1,当n≥2时利用${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$与${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+(n-1){a_{n-1}}={2^{n-1}}-1,\;(n≥2)$作差,进而计算可得结论;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$,进而利用错位相减法计算即得结论.

解答 解:(Ⅰ)a1=1,
∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$
∴${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+(n-1){a_{n-1}}={2^{n-1}}-1,\;(n≥2)$
两式相减,得:$n{a_n}={2^{n-1}}$,∴${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$,(n≥2);
又a1=1适合上式,故:${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$. …(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$,
所以${S_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$,
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$,
两式相减得:$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$=$2(1-\frac{1}{2^n})-\frac{n}{2^n}$,
∴${S_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$.  …(15分)

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.已知点A(1,2),B(4,-2),则线段AB的长度为(  )
A.3B.4C.5D.6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两点,且满足$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0,点P为弦AB的中点,则点P的轨迹方程为x2-x+y2=4.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.已知x、y∈R,则“x≠3或x≠5”是x+y≠8的(  )条件.
A.充分不必要B.充要
C.必要不充分D.既不充分也不必要

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知函数f(x)=ax2-x-3,
(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具单调性;
(2)当$a=\frac{1}{2}$时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最大值记为g(t),求g(t)的函数表达式;
(3)第(2)题的函数g(t)是否有最值,若有,请求出;若没有,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.已知函数f(x)=2x-x2,则函数f(x)的零点的个数为(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.,当每辆车的月租金定为x元时,租赁公司的月收益为y元,
(1)试写出x,y的函数关系式(不要求写出定义域);
(2)租赁公司某月租出了88辆车,求租赁公司的月收益多少元?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

20.已知非零数列{an}满足a1=1,anan+1=an-2an+1(n∈N*).
(1)求证:数列$\left\{{1+\frac{1}{a_n}}\right\}$是等比数列;
(2)若关于n的不等式$\frac{1}{{n+{{log}_2}({1+\frac{1}{a_1}})}}+\frac{1}{{n+{{log}_2}({1+\frac{1}{a_2}})}}+…+\frac{1}{{n+{{log}_2}({1+\frac{1}{a_n}})}}$<m-3有解,求整数m的最小值;
(3)在数列$\left\{{1+\frac{1}{a_n}-{{({-1})}^n}}\right\}$中,是否存在首项、第r项、第s项(1<r<s≤6),使得这三项依次构成等差数列?若存在,求出所有的r、s;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.下列等式一定成立的是(  )
A.a${\;}^{-\frac{1}{2}}$•a${\;}^{\frac{1}{2}}$=0B.a${\;}^{\frac{1}{2}}$÷a${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{5}{6}}$
C.(a32=a9D.a${\;}^{\frac{1}{2}}$•a${\;}^{\frac{1}{2}}$=a

查看答案和解析>>

同步练习册答案