Question

【题目】已知函数f（x）= （m，n为常数）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）=﹣ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（2x﹣1）＜﹣f（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函数f（x）= （m，n为常数）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，

∴f（0）= =0，∴n=0，

再根据f（﹣1）= =﹣ ，∴m=1，

∴f（x）= =

（2）解：关于x的不等式f（2x﹣1）＜﹣f（x）=﹣f（x），

∵f（x）= 在（0，1]上单调递增，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增．

故由不等式可得 ，求得0≤x＜ ，

故不等式的解集为{x|0≤x＜ }

【解析】（1）由f（0）= =0，求得n=0，再根据f（﹣1）=﹣ ，求得m=1，∴f（x）得解析式．（2）关于x的不等式即f（2x﹣1）＜﹣f（x），再根据f（x）在[﹣1，1]上单调递增，可得不等式组 ，由此求得x的范围．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．