Question

已知多项式．
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵，∴f（1）=1； f（-1）=0．
（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：
（1⁰）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．
①当n=1时，f（1）=1，结论成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，结论成立，即是整数，
则当n=k+1时，==f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1，
根据假设f（k）是整数，而k⁴+4k³+6k²+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．
由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）
（2⁰）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）
（3⁰）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，
所以==-f（m）+m⁴是整数．
综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）
分析：（1）根据 ，直接求出f（1）和f（-1）的值．
（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（1⁰）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，
f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=-m，m是正整数，证明f（-m）是整数，从而命题得证．
点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．