Question

【题目】对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：

①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0

②f（1）=1

③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立；则称函数f（x）为理想函数．试证明下列三个命题：

（1）若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；

（2）函数f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函数；

（3）若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）取特殊值可得f（0）≤0且f（0）≥0，故f（0）=0；（2）证明函数f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）满足条件①②③；（3）由条件③可证得，对任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，有f（n）≥f（m），再用反证法证明．

试题解析：

（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）

即f（0）≤0，由已知x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，

∴f（0）=0；

（2）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．

③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，

则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]

=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，

故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，

故f（x）=2x﹣1为理想函数．

（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，

∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．

若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，矛盾；

若f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，矛盾．

综上有f（x0）=x0．