【题目】函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)=x﹣a(0<x<4)的值域为集合B. (Ⅰ)求集合A,B;
(Ⅱ)若集合A,B满足A∩B=B,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)= 的定义域为集合A,
函数g(x)=x﹣a(0<x<4)的值域为集合B,
∴A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3},
B={y|﹣a<y<4﹣a}.
(Ⅱ)∵集合A,B满足A∩B=B,∴BA,
∴4﹣a≤﹣1或﹣a≥3,
解得a≥5或a≤﹣3.
∴实数a的取值范围(﹣∞,﹣3]∪[5,+∞)
【解析】(Ⅰ)利用函数的定义域和值域能求出集合A和B.(Ⅱ)由集合A,B满足A∩B=B,知BA,由此能求出实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识,掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零.
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【题目】已知命题p:x∈R,使得x+ <2,命题q:x∈R,x2+x+1>0,下列命题为真的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q)
D.(¬p)∧(¬q)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为 .
(1)求a1 , a2 , a3;
(2)若数列{an}为等比数列,求常数a的值及an;
(3)对于(2)中的an , 记f(n)=λa2n+1﹣4λan+1﹣3,若f(n)<0对任意的正整数n恒成立,求实数λ的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)|x+a|(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[﹣2,2]时,函数f(x)的最大值为g(a),求g(a)的表达式.
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【题目】椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点到直线x+y+ =0的距离为2 . (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 过点M(0,﹣1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,满足 =﹣ ,求直线l的方程.
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【题目】函数f(x)=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为 的偶函数
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若 ,试判断函数y=f(x)在R上的零点个数,并求此时y=f(x)所有零点之和的取值范围.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB、BC的中点,则平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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