Question

【题目】已知函数，（为常数，且）.

（1）若当时，函数与的图象有且只要一个交点，试确定自然数的值，使得（参考数值，，，）；

（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）见解析

【解析】分析：（1）记，求得，分和讨论，即可得到函数的单调性和最小值，函数与的图象有且只有一个交点，得，进而可求解的取值范围，确定的值．

（2）由（1）得：当时，只要证明：时，，

记，求得 ，

记，利用二次函数的图象与性质，即可作出证明．

详解：（1）记 ，则，

当时，因为，，函数单调递增，，

函数无零点，即函数与的图象无交点；

当时，，且时，，

时，，

所以，，函数与的图象有且只有一个交点，得，

化简得：，

记，，所以在上单调递减，

又， ，

所以，即.

（2）由（1）得：当时，，只要证明：

时，即，

记，

则 ，

记，

图象为开口向上的抛物线，对称轴为，

且，所以当时，，即，

所以在区间上单调递增，从而，

即成立，所以成立.