Question

12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且$\sqrt{3}$bcosC+$\sqrt{3}$ccosB=2csinA．
（1）试求∠C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，根据sinA不为0，求出sinC的值，即可确定出锐角C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入，利用基本不等式求出ab的范围，再利用面积公式即可求出S的范围．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCcosB=2sinAsinC，
即$\sqrt{3}$sin（B+C）=2sinAsinC，
变形得：$\sqrt{3}$sinA=2sinAsinC，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴则锐角C=60°．
（2）∵C=60°，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a等于b时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面积S的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式求最值的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．