已知集合P={x|x2-3x+b=0},Q={x|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)当b=4时,写出所有满足条件P?M⊆Q的集合M;
(2)若P⊆Q,求实数b的取值范围.
解:(1)∵集合Q={x|(x+1)(x
2+3x-4)=0}={x|(x+1)(x+4)(x-1)=0}={-1,1,-4},
当b=4时,集合P=∅,再由 P?M⊆Q可得,M是Q的非空子集.
共有 2
3-1=7 个,分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1,1}、{-1,4}、{1,4}、{-1,1,-4}.
(2)∵P⊆Q,对于方程x
2-3x+b=0,当P=∅,△=9-4b<0时,有
.
△=9-4b≥0时,P≠∅,方程x
2-3x+b=0有实数根,且实数根是-1,1,-4中的数.
若-1是方程x
2-3x+b=0的实数根,则有b=-4,此时P={-1,4},不满足P⊆Q,故舍去.
若1是方程x
2-3x+b=0的实数根,则有b=2,此时P={1,2},不满足P⊆Q,,故舍去.
若-4是方程x
2-3x+b=0的实数根,则有b=2,此时P={-1,4},不满足P⊆Q,故舍去.
综上可得,实数b的取值范围为(
,+∞).
分析:(1)由于集合Q={-1,1,-4},当b=4时,集合P=∅,再由 P?M⊆Q可得,M是Q的非空子集,从而得到M.
(2)当P=∅,△=9-4b<0时,有
.当P≠∅,方程x
2-3x+b=0有实数根,且实数根是-1,1,-4中的数,把x=-1,1,-4代入检验,由此得到实数b的取值范围.
点评:本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,体现了分类讨论的数学思想.注意检验P⊆Q,这是解题的易错点,属于中档题.