Question

如图，△ABC中，BC=2

3

，

AB

•

AC

=4，

AC

•

CB

=2，双曲线M是以B、C为焦点且过A点．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设过点E（1，0）的直线l分别与双曲线M的左、右支交于
F、G两点，直线l的斜率为k，求k的取值范围．；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的直线l，是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值，若没有说明理由．（O为原点）

Answer 1

分析：（1）以BC边的中点为原点，BC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B，C坐标可得，设出A的坐标，进而可表示出

AB

，

AC

和

CB

，进而由

AB

•

AC

=4，

AC

•

CB

=2，求得A点的横坐标和纵坐标，设双曲线方程标准方程，把A坐标代入，以及双曲线的焦距进而求得a和b，双曲线方程可得．
（2）当l⊥x轴时，l与双曲线无交点．当l不垂直x轴时，可设l的方程：y=k（x-1）与双曲线方程联立，消去y，进而根据判别式大于0求得k的范围．
（3）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，设M是FG的中点，则有：OM⊥FG，由（2）可求的交点的横坐标之和，进而可表示出中点M的坐标，表示出直线OM和FG的斜率相乘，看结果是不是-1．

解答：解：（I）以BC边的中点为原点，BC边所在直线为x轴，
建立直角坐标系，
则B(-

3

，0)，C(

3

，0)，设A(x0，y0)，
故

AB

=(-

3

-x0，-y0)，

AC

=(

3

-x0，-y0)，

CB

=(-2

3

，0)
由

AB • AC =4 AC • CB =2

，得

x 2 0 -3+ y 2 0 =4 -2 3 ( 3 -x0)=2

∴

x 2 0 = 16 3 y 2 0 = 5 3

设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，又c=

3

∴

16 3a2 - 5 3b2 =1 a2+b2=3

，∴

a2=2 b2=1

∴双曲线M的方程为

x2

2

-y2=1；
（II）当l⊥x轴时，l与双曲线无交点．
当l不垂直x轴时，可设l的方程：y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2 2 -y2=1

，消去y，得（1-2k²）x²+4k²x-2（k²+2）=0
∵l与双曲线的左、右两支分别交于F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则

1-2k2≠0 x1x2= 2k2+2 2k2-1 ＜0

∴-

2

2

＜k＜

2

2

（Ⅲ）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，设M是FG的中点，
则有：OM⊥FG
由（II）易得x1+x2=

4k2

2k2-1

，中点M(

2k2

2k2-1

，

k

2k2-1

)
则应有：K_OMK_FG=-1，即k•

1

2k

=-1，显然不成立，
所以不存在这样的k值使|OF|=|OG|．

点评：本题主要考查了双曲线的方程．涉及了直线与双曲线的关系，考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力．