Question

9．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=$\sqrt{3}$ km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．

Answer 1

分析 由三角形内角和定理得出∠CBD=60°，在△BCD中，由正弦定理得出BD，再在△ABD中利用余弦定理解出AB即可．

解答 解：∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°，
在△BCD中，由正弦定理，得：
BD=$\frac{CDsin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，
由余弦定理，得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos105°
=3+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$=5+2$\sqrt{3}$．
∴AB=$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$．
答：炮兵阵地与目标的距离为$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$km

点评 本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．