Question

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

Answer 1

分析：（Ⅰ）从甲地到乙地的运输成本y（元）=每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得函数表达式y=150(x+

1600

x

)，（且0＜x≤50）；用基本不等式可求得最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为：0.5x²（0＜x≤50），从甲地到乙地所用的时间为

300

x

小时，
          则从甲地到乙地的运输成本：y=0.5x2•

300

x

+800•

300

x

，（0＜x≤50）
          故所求的函数为：y=0.5x2•

300

x

+800•

300

x

=150(x+

1600

x

)，（0＜x≤50）．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，y=150(x+

1600

x

)≥150×2

x× 1600 x

=12000，
      当且仅当 x=

1600

x

，即x=40时取等号．
     故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．

点评：本题考查了由函数模型建立目标函数，利用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题．