Question

【题目】已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 ， Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 ， 其中n=1，2，3，…．试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2= =9，q=±3．

①当q=﹣3时，a1+a2+a3=2﹣6+18=14＜20，

这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．

②当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．

∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1

设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，

得4b1+ d=26，结合b1=2，解之得d=3，

所以bn=bn+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1

综上所述，数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1；

（2）解：∵b1，b4，b7，…，b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列，

∴Pn=nb1+ 3d= n2﹣ n；

同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b10=29，

∴Qn=nb10+ 2d=3n2+26n．

因此，Pn﹣Qn=（ n2﹣ n）﹣（3n2+26n）= n（n﹣19）．

所以对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn．

【解析】（1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{an}的公比q=±3．讨论可得当q=﹣3时与题意矛盾，故q=3可得an=2×3n﹣1 ． 由此得到{bn}的前4项和等于a1+a2+a3=26，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，得bn=3n﹣1；（2）根据等差数列的性质，可得b1 ， b4 ， b7 ， …，b3n﹣2和b10 ， b12 ， b14 ， …，b2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列，由等差数列求和公式算出Pn= n2﹣ n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn﹣Qn= n（n﹣19），结合n为正整数加以讨论，即可得到Pn与Qn的大小关系，从而使本题得到解决．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．