Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=sinx是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=lg

2k

x2+1

∈M，求实数k的取值范围．
（3）若函数f（x）=2^x+x²，证明 f（x）∈M．

Answer 1

分析：（1）根据题意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值进行证明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出对应的方程，再由一元二次方程有解的条件求出k的范围，注意二次系数是否为零；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

解答：解：（1）由题意知f（x）=sinx，要f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即需sin（x₀+1）=sinx₀+sin1
显然当x₀=0时等式成立，即f（x）=sinx∈M．
（2）∵函数f（x）=lg

2k

x2+1

∈M，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即lg

2k

(x+1)2+1

=lg

2k

x2+1

+lg

2k

2

lg

2k

(x+1)2+1

=lg

2k

x2+1

•

2k

2

2k

(x+1)2+1

=

2k

x2+1

•

2k

2

，
∴x²+1=k（x²+2x+2），∴（k-1）x²+2kx+2k-1=0有解，
①k=1时，x=-

1

2

有解，符合；
②k≠1时，△=4k²-4（k-1）（2k-1）≥0，∴

3- 5

2

≤k≤

3+ 5

2

，k≠1，
综上：

3- 5

2

≤k≤

3+ 5

2

．
（3）∵函数f（x）=2^x+x²∈M，要证f（x）∈M，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，∴2^x+1+（x+1）²=2^x+x²+3有解，即2^x+2x-2=0有解，
设h（x）=2^x+2x-2，∵h（0）=-1，h（1）=2，
根据函数的零点存在性判定理得，存在x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，∴f（x）∈M．

点评：本题题意新颖，主要利用新定义进行运算，考查了对数函数、正弦函数和指数函数的性质，函数的零点存在性判定理的应用，综合性强、难度大．