Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点；已知顶点B(0，

3

)到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：椭圆C上任意一点M（x₀，y₀）到右焦点F₂的距离的最小值为1．
（3）作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时△F₁PQ的面积．

Answer 1

分析：（1）根据顶点B(0，

3

)到F₁、F₂两点的距离之和为4，可得a=2，b=

3

，从而可求椭圆方程；
（2）计算出椭圆C上任意一点M（x₀，y₀）到右焦点F₂的距离，根据x₀∈[-2，2]，可证结论；
（3）先求|PQ|max=

14

，再求点F₁（-1，0）到直线PQ的距离，即可求得△F₁PQ的面积．

解答：（1）解：由已知得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（2）证明：∵M（x₀，y₀），F₂（1，0）且x₀∈[-2，2]，
∴|MF2|=

(x0-1)2+(y0-0)2

=

( 1 2 x0-2)2

=|

1

2

x0-2|∈[1，3]…（4分）
∴仅当M（x₀，y₀）为右顶点时|MF₂|_min=1…（5分）
（3）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）∵kAB=

3

2

，
∴可设直线PQ：y=

3

2

x+m，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得3x2+2

3

mx+2m2-6=0…（7分）
由韦达定理知，x1+x2=-

2 3 m

3

，x1x2=

2m2-6

3

，…（9分）
又y1=

3

2

x1+m，y2=

3

2

x2+m
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 3 4 )(x1-x2)2

=

(1+ 3 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

7 4 [(- 2 3 m 3 )2- 8m2-24 3 ]

=

7(6-m2) 3

仅当m=0时|PQ|max=

14

…（12分）
而点F₁（-1，0）到直线PQ：

3

x-2y=0的距离h=

|- 3 |

3+4

=

21

7

，
∴S△F1PQ=

1

2

|PQ|•h=

6

2

．…（14分）

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线与椭圆方程联立，从而利用韦达定理解题．