Question

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=60°，N为AE上任意一点，
（1）求证：DN∥面BCF；
（2）若BC=BF=3，求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明平面ADE∥平面BCF，即可证明DN∥面BCF；
（2）证明AC⊥平面BDEF，利用锥体的体积公式求多面体ABCDEF的体积．

解答： （1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，AD∩DE=D，BF∩BC=B，
∴平面ADE∥平面BCF，
∵DN?平面ADE，
∴DN∥面BCF；
（2）解：连接AC，则AC⊥BD，
∵ED⊥面ABCD，
∴AC⊥ED，
∵BD∩ED=D，
∴AC⊥平面BDEF，
∵ABCD是菱形，∠BAD=60°，BC=3
∴AC=3

3

，BD=3
∴多面体ABCDEF的体积为

1

3

×3×3×3

3

=9

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查多面体ABCDEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．