如图.已知正方体的棱长为2.E.F分别是.的中点.过.E.F作平面交于G.. (Ⅰ)求证:∥, (Ⅱ)求二面角的余弦值, (Ⅲ)求正方体被平面所截得的几何体的体积. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本小题满分14分) 如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求证：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体

的体积.

（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面

平面平面，平面平面

∴∥.-------------------------------------3分

（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为

x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

设平面的法向量为

则由，和，得，

取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量为（0，0，2）

故；

∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分

（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，

∵～，，，

∴，，

∴，

--------------------------11分

故V_棱台

∴V=V_正方体-V_棱台.------------------14分

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