Question

【题目】已知函数

（1）若时，讨论的单调性；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

(1)求出函数的定义域及导数，分类讨论导数根的个数与符号从而求得函数的单调性；(2)求出函数及其导数，当时，至多有一个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，则需大于零，从而求出的取值范围.

（1）易知的定义域为，且，

对于，又，

①若时，，在上是增函数；

②若时，，得,

在和上是增函数，在上是减函数.

（2）由，

定义域为且

①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；

②当时，得，

在上单调递增，在上单调递减

要使有两个零点，则，由解得

此时

易知当时，

令，

令，所以，

时，在为增函数，

在为增函数，，所以

函数在与各存在一个零点

综上所述，.