Question

【题目】如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE
（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以=．
由AD=3，可知DE=3，AF=．
则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则
， 即．
令z=，则=（4，2，）．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．
所以cos<,>===．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．

【解析】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．