分析 (1)根据函数是奇函数,建立条件关系即可求a的值;
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式不等式f(logm(2x+1))+$\frac{1}{3}$<0进行转化即可.
解答 解:(1)∵定义域为R的函数f(x)=$\frac{{a-{2^x}}}{{{2^x}+1}}$是奇函数.
∴f(0)=0,即f(0)=$\frac{a-1}{2}=0$,解得a=1,
即f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$.
(2)f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2({2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}})}{({2}^{{x}_{1}}+1)({2}^{{x}_{2}}+1)}$,
∵x1<x2,
∴${2}^{{x}_{1}}<{2}^{{x}_{2}}$,即${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}>0$,
即f(x1)-f(x2)=$\frac{2({2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}})}{({2}^{{x}_{1}}+1)({2}^{{x}_{2}}+1)}$>0,
f(x1)>f(x2),
即f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)∵f(x)是奇函数,
∴f(logm(2x+1))+$\frac{1}{3}$<0等价为f(logm(2x+1))<-$\frac{1}{3}$,
∵f(1)=$\frac{1-2}{2+1}$=$-\frac{1}{3}$.
则不等式等价为f(logm(2x+1))<f(1),
∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
∴logm(2x+1)>1,即logm(2x+1)>logmm
若m>1,则2x+1>m,则2x>m-1,得x>log2(m-1),
若0<m<1,则2x+1<m,则2x<m-1,此时不等式无解,
综上若m>1不等式的解集为(-∞,log2(m-1)),
若0<m<1,不等式的解集为∅.
点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明,利用函数的性质将不等式进行转化是解决本题的关键.
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