Question

【题目】已知椭圆 的右焦点 ，且经过点 ，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴的上方）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|AM|=2|MB|，且直线l与圆 相切于点N，求|MN|的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知： ，

a2=3+b2＞3，解得：a2=4，b2=1，

故椭圆C的方程为 ；

（2）解：设M（m，0），直线l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由|AM|=2|MB|，有y1=﹣2y2，

由 ，得（t2+4）y2+2my+m2﹣4=0，

由韦达定理得： ，

由 ，

得 ，即 ，

化简得（m2﹣4）（t2+4）=﹣8t2m2，①

原点O到直线的距离 ，

又直线l与圆 相切，

∴ ，即 ，②

联立①②得：21m4﹣16m2﹣16=0，即（3m2﹣4）（7m2+4）=0，

解得 ，此时 ，满足△＞0，得 ，

在Rt△OMN中，可得 ，

∴|MN|的长为 ．

【解析】（1）由题意列关于a，b的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设出M，A，B的坐标及直线l的方程x=ty+m，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，由|AM|=2|MB|，有y1=﹣2y2，再结合根与系数的关系可得m与t的关系，由直线与圆相切可得m与t的另一关系式，联立求得m，t的值，可得M的坐标，则|MN|的长可求．