Question

三棱锥S-ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，△SAB，△SBC，△SAC面积分别为1，

3

2

，3，则此三棱锥外接球表面积为

14π

．

Answer 1

分析：根据三角形面积公式，解方程组得SA=2，SB=1，SC=3，进而算出以SA、SB、SC为长、宽、高的长方体的对角线长为

14

，从而得到三棱锥外接球R=

14

2

，最后用球的表面积公式，可得此三棱锥外接球表面积．

解答：解：设SA=x，SB=y，SC=z，则
因为△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的直角三角形，得

1 2 xy=1 1 2 yz= 3 2 1 2 zx=3

解之得：x=2，y=1，z=3即SA=2，SB=1，SC=3，
∵侧棱SA，SB，SC两两垂直，
∴以SA、SB、SC为过同一顶点的3条棱作长方体，该长方体的对角线长为

SA2+SB2+SC2

=

14

，恰好等于三棱锥外接球的直径
由此可得外接球的半径R=

14

2

得此三棱锥外接球表面积为S=4πR²=14π
故答案为：14π

点评：本题给出特殊三棱锥，求它的外接球表面积，着重考查了空间垂直关系的性质和多面体的外接球等知识，属于中档题．