Question

4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：函数f（x）在定义域上是单调增函数；
（2）如果f（${\frac{1}{3}}$）=-1且f（x）-f（${\frac{1}{x-2}}$）≥2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用单调性的定义证明函数的单调性；注意应用抽象函数的相关性质．
（2）根据抽象函数的关系式，将不等式进行转化，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 （1）证明：在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，则f（k）＞0，k＞1．
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（2）∵f（${\frac{1}{3}}$）=-1，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（${\frac{1}{3}}$×${\frac{1}{3}}$）=f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）=-1-1=-2，
∵f（x）-f（${\frac{1}{x-2}}$）≥2，
∴f（x）-2≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
即f（x）+f（$\frac{1}{9}$）≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
即f（$\frac{x}{9}$）≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
$\frac{x}{9}$≥${\frac{1}{x-2}}$，①
由${\frac{1}{x-2}}$＞0得x＞2，
则①等价为x²-2x-9≥0，
解得x≥1+$\sqrt{10}$或x≤1-$\sqrt{10}$（舍），
则不等式的解集为[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

点评 本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，利用定义法以及转化法是解决本题的关键．属于中档题．