Question

函数f（x）的定义域是R，对任意实数a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．当x＞0时，f（x）＞0且f（2）=3．
（1）判断的奇偶性、单调性；
（2）求在区间[-2，4]上的最大值、最小值；
（3）当θ∈[0，

π

2

]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先看奇偶性，用赋值法，先令实数a，b都为零，求得f（0），再令实数a=x，b=-x探讨f（-x），f（x）关系．再看单调性，a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂再有f（a）+f（b）=f（a+b）．构造单调性定义模型，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）判断即可．
（2）由（1）的单调性结论求解，若为增函数，则-2，4分别对应最小值，最大值．若为减函数，则-2，4分别对应最大值，最小值．
（3）将“f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0”利用主条件转化为：f（cos2θ-3+4m-2mcosθ）＞f（0），再利用单调性转化为“cos2θ-3+4m-2mcosθ＜0，恒成立”求解．

解答：解：（1）令a=b=0，f（0）=0
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）为奇函数
令a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴是增函数
（2）由（1）知是增函数
所以，当x=-2时取得取小值-3；当x=4时取得最大值f（4）=2f（2）=6
（3）由题意：当θ∈[0，

π

2

]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ都成立
可转化为：2（cosθ）²-2mcosθ+4m-4＞0，当θ∈[0，

π

2

]时恒成立
令t=cosθ∈[0，1]则转化为：2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]恒成立
令g（t）=2t²-2mt+4m-4

g(0)＞0 g(1)＞0 g( m 2 ) ＞0

解得：m＞4+2

2

点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断及其应用，在解决过程中，赋值法是常用的方法，严格落实主条件转化问题是关键．