Question

已知函数f(x)=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x
（1）将函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的形式，并写出最小正周期．
（2）用“五点法”作函数的图象，并写出该函数在[0，π]的单调递增区间


（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，求x₁+x₂．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数的解析式，求出最小正周期．
（2）根据函数的解析式，用五点法做出简图，结合图象求出在[0，π]上的单调增区间．
（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，由图象的对称性知，x₁，x₂关于对称轴x=

π

3

对称，从而有 

x1+x2

2

=

π

3

．

解答：解：（1）f(x)=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x=sin²x-cos²x+

3

sin2x=
  2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

）．最小正周期为 T=

2π

ω

=π．
  （2）用五点法做出简图，列表如下：

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2 π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
y	0	2	0	-2	0

描点作图：
 在[0，π]上的单调增区间为[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．
（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，由图象的对称性知，x₁，x₂关于对称轴 x=

π

3

对称，故

x1+x2

2

=

π

3

，∴x₁+x₂=

2π

3

．

点评：本题考查三角公式的应用，用五点法作图，正弦函数的图象和性质，体现了数形结合的数学思想，作图是解题的难点．