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已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.
(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值.
【答案】分析:(1)欲求线段PQ的中点M的轨迹方程,设线段PQ的中点M坐标为(x,y),即要求x,y间的关系式,先利用x,y列出点P(s,t)的坐标结合点P在曲线C上即得;
(2)处理圆与D有无公共点的问题,须分两种情形讨论:当时和当a<0时.对于后一种情形,只须只需考虑圆心E到直线l:x-y+2=0的距离即可,从而求得求a的最小值.
解答:解:(1)联立y=x2与y=x+2得xA=-1,xB=2,则AB中点,设线段PQ的中点M坐标为(x,y),则,即,又点P在曲线C上,
化简可得
又点P是L上的任一点,且不与点A和点B重合,
,即
∴中点M的轨迹方程为).
(2)曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0,
即圆E:,其圆心坐标为E(a,2),半径
由图可知,当时,曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与点D有公共点;
当a<0时,要使曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与点D有公共点,
只需圆心E到直线l:x-y+2=0的距离

,则a的最小值为
点评:本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、轨迹方程、抛物线方程、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
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(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+
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=0与D有公共点,试求a的最小值.

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(Ⅰ) 求a2与an
(Ⅱ) 求Sn,并证明Sn
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