Question

【题目】已知f(x)＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a≥0)．

(1)将f(x)表示成u(其中u＝)的函数；

(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）g(u)＝4u2－4au＋2a2－2(u≥1)（2）f(x)min＝

【解析】

（1）展开后整理成关于的形式，换元即可（2）由（1）知换元后函数为关于的二次函数，根据对称轴分类讨论即可求解.

(1)将f(x)展开重新配方得，f(x)＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.

令u＝，则，得g(u)＝4u2－4au＋2a2－2(u≥1)．

(2)∵g(u)的对称轴是u＝，a≥0，

∴当0≤a≤2时，则当u＝1时，g(u)有最小值，此时g(u)min＝g(1)＝2(a－1)2.

当a＞2时，则当u＝时，g(u)有最小值，此时g(u)min＝g＝a2－2.

∴f(x)的最小值为f(x)min＝