Question

【题目】椭圆b2x2+a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1、F2，等边三角形的边AF1、AF2与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|＝|F1F2|，则该椭圆的离心率等于（　 　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由△AF1F2为正三角形可得∠AF1F2＝∠A＝60°，则可求直线AF1，AF2的斜率，进而可求B点坐标，代入椭圆的方程，结合b2＝a2﹣c2及0＜e＜1可求离心率．

由△AF1F2为正三角形可得∠AF1F2＝∠AF2F1＝60°

则直线AF1，AF2的斜率分别为 ，

则直线AF1，AF2所在的直线方程分别为y，y，

其交点A（0，c），由于2|BC|＝|F1F2|，得BC是三角形的中位线，得B是AF1的中点，

从而AF1中点B（ ，）在椭圆上，代入椭圆的方程可得

整理可得，c2（a2﹣c2）+3c2a2＝4a2（a2﹣c2）

∴4a4﹣8a2c2+c4＝0

两边同时除以a4可得，e4﹣8e2+4＝0

∵0＜e＜1

∴，（舍）

∴

故选：C．