Question

已知函数f（x），当x、y∈R时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y）．
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）如果x＜0时，f（x）＞0，并且f（2）=-1，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5对任意a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定义法：令x=y=0，可求出f（0），再令x=0，y=x，即可证明；
（Ⅱ）先利用定义判断f（x）的单调性，再利用单调性及f（2）=-1即可求出f（x）在区间[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）对任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5恒成立，等价于m²+am-5＜f（x）_min，又对任意a∈[-1，1]恒成立，可得

m2-m-2＜0 m2+m-2＜0

，由此可求出m的范围；

解答：解：（Ⅰ）证明：∵当x、y∈R时，恒有f （x）-f （y）=f （x-y），
∴f （0）-f （0）=f （0-0），即f （0）=0，
∴f （0）-f （x）=f （0-x），
即-f （x）=f （-x），
所以f （x）是奇函数； 
（Ⅱ）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁＞f（x₂），
故，函数f（x）在R上单调递减，
所以，函数f（x）在[-2，6]上单调递减，
故，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=1，
f（x）_min=f（6）=f（4）+f（2）=3f（2）=-3；
（Ⅲ）∵对任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5恒成立，
∴m²+am-5＜f（x）_min=-3，即m²+am-2＜0，
∵对任意a∈[-1，1]，不等式m²+am-2＜0恒成立，
∴

m2-m-2＜0 m2+m-2＜0

，解得-1＜m＜1，
所以，实数m的取值范围是：-1＜m＜1．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对函数恒成立问题常转化为函数最值问题解决，体现了转化思想．