Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．
（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；
（Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN平面的锐二面角余弦值大小．

Answer 1

分析：（I）取AD中点O，连接PO，BO．由于△PAD是正三角形，可得PO⊥AD．利用面面垂直的性质可得PO⊥平面ABCD，可得∠PBO为PB与平面ABCD所成的角．由已知可得PO=BO，即可得出PB与平面ABCD所成的角．
（Ⅱ）利用菱形的性质和△ABD是正三角形，可得AD⊥BO，可得AD⊥平面POB，于是得到AD⊥PB，利用等腰三角形的性质可得AN⊥PB，利用线面垂直的判定定理可得PB⊥平面ADMN．
（Ⅲ）连接ON，利用PB⊥平面ADMN，可得∠PON为所求二面角的平面角．利用△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，可得PAD与ADMN平面所成锐二面角余弦值．

解答：（I）解：取AD中点O，连接PO，BO．如图所示．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴BO为PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角．
由已知△ABD为等边三角形，∴PO=BO=

3

，
∴PB与平面ABCD所成的角为45°．
（Ⅱ）证明：由菱形ABCD及∠BAD=60°可得△ABD是正三角形，∴AD⊥BO，∴AD⊥PB，
又PA=AB=2，N为PB中点，∴AN⊥PB，
∵AN∩AD=A，
∴PB⊥平面ADMN．
（Ⅲ）证明：连接ON，∵PB⊥平面ADMN，∴ON为PO在平面ADMN上的射影，
∵AD⊥PO，∴AD⊥NO，
故∠PON为所求二面角的平面角．
∵△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，∴∠PON=45°
COS∠PON=

2

2

，
∴面PAD与ADMN平面所成锐二面角余弦值为

2

2

．

点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质、线面角、二面角等基础知识与基本能力，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．