Question

如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到椭圆两焦点的距离之和等于4.

(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)设直线l的方程为x＝4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)＋＝1   (x－1)²＋y²＝1
(2) 存在点P或，使得△FPM为等腰三角形

解：(1)由题意，设椭圆的标准方程为＋＝1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，圆的标准方程为(x－1)²＋y²＝1.
(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，－2≤x≤2，
∵P(x，y)在椭圆上，∴＋＝1，
∴y²＝3－x².
∴|PF|²＝(x－1)²＋y²＝(x－1)²＋3－x²＝ (x－4)²，
|PM|²＝|x－4|²，|FM|²＝3²＋y²＝12－x².
①若|PF|＝|FM|，则 (x－4)²＝12－x²，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2时，P(－2,0)，此时P，F，M三点共线，不合题意．∴|PF|≠|FM|；
②若|PM|＝|PF|，则(x－4)²＝ (x－4)²，解得x＝4，不合题意；
③若|PM|＝|FM|，则(x－4)²＝12－x²，解得x＝4(舍去)或x＝，x＝时y＝±，
∴P.
综上可得，存在点P或，使得△FPM为等腰三角形．