Question

11．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$．
（1）当θ=$\frac{π}{3}$时，若△OPQ为直角三角形，其中∠P=$\frac{π}{2}$，求t的值；
（2）令f（t）=|$\overrightarrow{PQ}$|，若f（t）在t=t₀（0＜t₀＜$\frac{1}{5}$）时取得最小值，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到t；
（2）由向量的运算可得|$\overrightarrow{PQ}$|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．

解答 解：（1）当θ=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2×1×cos$\frac{π}{3}$=1，
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PQ}$=t$\overrightarrow{OA}$[（（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$]=t（1-t）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-t²$\overrightarrow{OA}$²=t-5t²，
由题意可得OP⊥PQ，可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即t-5t²=0，
解得t=$\frac{1}{5}$（t=0舍去）；
（2）由题意可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2×1×cosθ=2cosθ，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|²=$\overrightarrow{PQ}$²=（1-t）²$\overrightarrow{OB}$²+t²$\overrightarrow{OA}$²-2t（1-t）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ
=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1
由二次函数知当上式取最小值时，t₀=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，
由题意可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，解得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜0，
∴$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$．
即θ的取值范围为（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）．

点评 本题考查数量积的定义和性质与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属于中档题．