Question

（2011•惠州二模）已知向量，

a

=（m，1），

b

=（sinx，cosx），f（x）=

a

•

b

且满足f（

π

2

）=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；并求函数y=f（x）的最小正周期和最值及其对应的x值；
（2）锐角△ABC中，若f（

π

12

）=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，得f（x）=msinx+cosx，从而由f(

π

2

)=1解出m=1．因此f（x）=sinx+cosx，化简得f(x)=

2

sin(x+

π

4

)，再结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数的最小正周期和最值及其对应的x值；
（2）由（1）中的表达式，根据f(

π

12

)=

2

sinA及△ABC是锐角三角形解出A=

π

3

，再利用余弦定理即可解出BC的长．

解答：解：（1）∵

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，
∴f（x）=

a

•

b

=msinx+cosx，
又∵f(

π

2

)=1，∴msin

π

2

+cos

π

2

=1解之得m=1．…（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．…（4分）
可得函数的最小正周期T=2π．…（5分）
当x=

π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）的最大值为

2

；当x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）最小值为-

2

…．（7分）
（2）∵f(

π

12

)=

2

sinA，可得f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA
∴sinA=sin

π

3

．…（8分）
∵A是锐角△ABC的内角，∴A=

π

3

．…（9分）
∵AB=2，AC=3
∴由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7．…（10分）
解之得BC=

7

（舍负）．…（12分）

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标形式，求函数f（x）=

a

•

b

的表达式，并依此求解三角形ABC的边BC长，着重考查了向量数量积公式、三角函数的图象与性质和余弦定理等知识，属于中档题．