Question

随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

7

的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于

1

2

，他直到参加第二次考核才合格的概率为

15

49

．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）设出小明参加第一次考核就合格的概率，根据他直到参加第二次考核才合格的概率为

15

49

，和小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

7

的等差数列，写出关系式，得到方程，解方程即可，注意去掉不合题意的．
（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是

4

7

，

5

7

，

6

7

，1，变量的可能取值是1，2，3，4，根据相互独立事件的概率公式得到变量对应的概率，写出分布列和期望值．

解答：解：（1）设小明参加第一次考核就合格的概率为p，
则(1-p)(P+

1

7

•)=

15

49

即49p²-42p+8=O，
解得：P=

2

7

或P=

4

7

∵p=.

2

7

＜

1

2

，
∴p=

4

7

即小明参加第一次考核就合格的概率为

4

7

（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是

4

7

，

5

7

，

6

7

，1
∴ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

4

7

，P（ξ=2）=

15

49

P(ξ=3)=(1-

4

7

)×(1-

5

7

)×

6

7

=

36

343

P(ξ=4)=(1-

4

7

)×(1-

5

7

)×(1-

6

7

)×1=

6

343

∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×

4

7

+2×

15

49

+3×

36

343

+4×

6

343

=

538

343

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查相互独立事件的概率公式，考查对立事件的概率，本题是一个综合题目，是近几年必出的一道题目．