Question

7．设定义R上在函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$（a，b，m，n为常数，且a≠0）的图象不间断．
（1）求m，n的值；
（2）设a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；
（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得图象过（0，1），（4，0），代入计算可得m，n；
（2）求出f（x）的解析式，判断各段的单调性，运用导数，结合恒成立思想，即可得到所求范围；
（3）求出f（x）的解析式，由函数g（x）=f（x）+b的零点的个数即为f（x）=-b的解的个数，讨论b的范围，分b＜-1，b=-1，-1＜b＜0，b=0，b＞0，结合f（x）的图象特点，即可得到零点的个数．

解答 解：（1）由题意可得x=0，y=1；x=4，y=0．
即有n=1，64a+16（b-4a）-4（4b+m）+n=0，
解得m=$\frac{1}{4}$，n=1；
（2）由题意可得b=-a，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}-5a{x}^{2}-（\frac{1}{4}-4a）x+1，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$，
由x＜0时，f（x）=2^-x递减，
即有f（x）在R上递减．
则x＞4时，f（x）=a（log₄x-1）递减，即有a＜0；
当0≤x≤4，f（x）的导数为f′（x）=3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a），
即有3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a）≤0在[0，4]恒成立，
由a＜0，设g（x）=3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a）的对称轴为x=$\frac{5}{3}$∈[0，4]，
g（0）=4a-$\frac{1}{4}$＜0，g（4）=48a-40a-$\frac{1}{4}$+4a=12a-$\frac{1}{4}$＜0，
只要g（$\frac{5}{3}$）≤0，即有$\frac{-12a（\frac{1}{4}-4a）-100{a}^{2}}{12a}$≤0，
解得-$\frac{3}{52}$≤a＜0．
则a的取值范围是[-$\frac{3}{52}$，0）；
（3）由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{{x}^{3}+（b-4）{x}^{2}-（4b+\frac{1}{4}）x+1，0≤x≤4}\\{lo{g}_{4}x-1，x＞4}\end{array}\right.$，
由函数g（x）=f（x）+b的零点的个数即为
f（x）=-b的解的个数，
讨论当b＜-1时，-b＞1，x＜0时，有一解；x＞4时，有一解；
0≤x≤4时，在x轴上方，函数先增后减，即有2解．共有4解；
当b=-1时，-b=1，x＜0时，无解；x＞4时，有一解；
0≤x≤4时，在x轴上方，函数先增后减，即有2解．共有3解；
当-1＜b＜0时，0＜-b＜1，x＜0时，无解；x＞4时，有一解；
0≤x≤4时，在x轴上方，函数先增后减，即有1解．共有2解；
当b=0时，-b=0，x＜0时，无解；x＞4时，无解；
0≤x≤4时，在x轴上，有2解．共有2解；
当b＞0时，-b＜0，x＜0，x＞4，均无解；在x轴下方，
函数先减后增，均有2解，共有2解．
综上可得，b＜-1时，g（x）有4个零点；
b=-1，g（x）有3个零点；
b＞-1，g（x）有2个零点．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的判断，以及函数的零点个数的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，属于中档题．