Question

【题目】已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F.过F的直线与抛物线C交于A、B，与抛物线C的准线交于M.

（1）若|AF|=|FM|=4，求常数p的值；

（2）设抛物线C在点A、B处的切线相交于N，求动点N的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y.

【解析】

（1）设交点F（0,）,则准线方程为y,根据F为AM的中点可得y12p,即可求得；

（2）由可得,即可求得切线斜率,联立抛物线与直线AB,根据韦达定理可得x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,利用点斜式直线方程可得在点的切线方程,联立即可求得点,即可得到点的轨迹方程.

（1）由抛物线的方程可得焦点坐标F（0,）,准线方程为y,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

因为|AF|=|FM|=4,所以F为AM的中点,所以y12p,

所以2p=4,解得p=2

（2）由y,所以,设直线AB:y=kx,

与抛物线C的方程联立得:x2﹣2pkx﹣p2=0,则=4p2k2+4p2＞0,

所以x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,

则在点A处的切线方程为:y﹣y1（x﹣x1）,即py+py1=x1x,

同理可得B处的切线方程py+py2=x2x,

联立,解得xNpk,yN,

所以N的轨迹方程为y,