Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，
M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PCB；                      
（Ⅱ）求直线AD与PB所成角；
（Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

（I）取PB的中点F，联结MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点．
∴MF∥AB，且MF=AB．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．
∴四边形CDFM是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF平面PCB，
∴DM∥平面PCB．                             4分
（Ⅱ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．                                    
∵PA=PD，       ∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．              8分
（Ⅲ）V_P-MBD=V_B-PMD       10分
V_B-PMD =××××=     14分