Question

3．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）x=0代入即可．
（2）x，-x代入求解得出：f（x-x）=f（x）f（-x），f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，分类判断即可．

解答 解：（1）∵对于任意的a，b∈R都满足f（a+b）=f（a）•f（b）．
∴f（0）=f（0）•f（0），
f（0）=0或f（0）=1，
f（x-x）=f（x）f（-x）
如果f（0）=0．
则可判断f（x）与f（-x）有为0的，
与数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，矛盾
∴f（0）=1，
（2）∵f（x-x）=f（x）f（-x）
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
当f（x）=1时，f（x）为偶函数，
当f（x）≠1时，f（x）不是奇函数，也不是偶函数．

点评 本题考查了抽象函数性质，运用特殊值法求解函数值，判断函数奇偶性，属于中档题．